Question

设a＞0，且a≠1，f（x）=

1

3x+ 3

．
（1）求值：f（0）+f（1），f（-1）+f（2）；
（2）由（1）的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明；
（3）若n∈N^*，求和：f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100）．

Answer 1

考点：数学归纳法,函数的值

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用f（x）=

1

3x+ 3

，代入计算，即可求值：f（0）+f（1），f（-1）+f（2）；
（2）由（1）归纳得到对一切实数x，有f（x）+f（1-x）=

3

3

，再利用条件进行证明即可；
（3）倒序，利用（2）的结论即可求和：f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100）．

解答： 解：（1）f（0）+f（1）=

1

1+ 3

+

1

3+ 3

=

1

3

=

3

3

，
f（-1）+f（2）=

1

3-1+ 3

+

1

32+ 3

=

1

3

=

3

3

.2分
（2）由（1）归纳得到对一切实数x，有f（x）+f（1-x）=

3

3

.4分
证明：f（x）+f（1-x）=

1

3x+ 3

+

1

31-x+ 3

=

1

3x+ 3

+

3x

3 ( 3 +3x)

=

3 +3x

3 ( 3 +3x)

=

1

3

=

3

3

.7分
（3）设S=f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100），
又S=f（100）+f（99）+…+f（1）+f（0）+f（-1）+…+f（-99），
两式相加，得（由（2）的结论）2S=200×

3

3

，
∴S=

100 3

3

.12分．

点评：本题考查求函数的值，考查倒序相加法，考查学生的计算能力，属于中档题．