Question

椭圆E：

x2

16

+

y2

4

=1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设所求直线与椭圆相交的两点的坐标，然后利用点差法求得直线的斜率，最后代入直线方程的点斜式得答案．

解答： 解：设所求直线与椭圆相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x12

16

+

y12

4

=1，

x22

16

+

y22

4

=1．
两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

16

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0．
又x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

．
因此所求直线方程为y-1=-

1

2

（x-2），即x+2y-4=0．
故答案为：x+2y-4=0．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了点差法求与中点弦有关的问题，是中档题．