Question

函数f（x）=x²+2x+a，f（f（x））=0有4个零点，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：利用换元法，结合一元二次函数的性质即可得到结论．

解答： 解：设t=f（x），则条件f（f（x））=0等价为f（t）=0有4个根，
即f（x）=0有两个正根，使[f（x）]²+2f（x）+a=0有4个根，
则判别式△＞0，即4-4a＞0，解得a＜1，
∵f（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1的最小值为a-1，
∴x₁＞a-1，x₂＞a-1，
即

x1+x2＞2a-2 x1x2＞(a-1)2

，
则

2a-2＜-2 (a-1)2＜a

，解得

a＜0 3- 5 2 ＜a＜ 3+ 5 2

，
解得

3- 5

2

＜a＜0，
故答案为：

3- 5

2

＜a＜0

点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．