Question

如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，求证：BE•BF=BC•BD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：立体几何

分析：证法一：做出辅助线，根据两条线平行，同位角相等，得到两个角相等，在根据同弧所对的圆周角等于弦切角，得到两个三角形相似，得到对应边成比例．
证法二：做出辅助线，根据直径所对的圆周角是一个直角，根据射影定理得到AB²=BC•BD，AB²=BE•BF，根据等量代换得到结论．

解答： 证明：证法一：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD
∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB
∴∠CEB=∠FDB
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角
∴△BCE∽△BDF，
∴

BC

BF

=

BE

BD

，
即BE•BF=BC•BD
证法二：连续AC、AE，
∵AB是直径，AC是切线
∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF
由射线定理有AB²=BC•BD，AB²=BE•BF
∴BE•BF=BC•BD

点评：本题考查平面几何的有关证明，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清要证明的四条线段之间的位置关系，得到结论．