Question

设离心率为e的双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k．若直线l与双曲线左、右支都有交点，则（　　）

• A、e²-k²＞1
• B、k²-e²＜1
• C、k²-e²＞1
• D、e²-k²＜1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线方程为：y=k（x-c）代入双曲线方程得：（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有两根，x₁•x₂＜0，因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，运用离心率公式由此能求出结果．

解答： 解：由题意可设直线方程为：y=k（x-c）代入双曲线方程得：
（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有两根，可设为x₁＞0，x₂＜0：
x₁•x₂=

-a2k2c2-a2b2

b2-a2k2

＜0，
因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，
b²-a²k²=c²-a²-a²k²=a²e²-a²-a²k²=a²（e²-1-k²）＞0
即有e²-1-k²＞0，即e²-k²＞1．
故选A．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．