Question

已知圆M：（x-2）²+（y-2）²=

17

2

，直线l：x+y-9=0，过l上一点A作△ABC，使∠BAC=45°，边AB恰过圆心M，且B、C均在圆M上．
（1）当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；
（2）求点A横坐标的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）当点A的横坐标为4时，求出A的坐标即可，求直线AC的方程；
（2）根据直线和圆的位置公式即可求点A横坐标的取值范围．

解答： 解：（1）依题意M（2，2），A（4，5），k AM=

3

2

，
设直线AC的斜率为k，则

|k- 3 2 |

|1+ 3k 2 |

=1，解得k=-5或

1

5

，
故所求直线AC的方程为5x+y-25=0或x-5y+21=0；
（2）圆的方程可化为（x-2）²+（y-2）²=（

34

2

）²，设A点的横坐标为a．
则纵坐标为9-a；
①当a≠2时，k AB=

7-a

a-2

，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，
则可得k=

5

2a-9

，直线AC的方程为y-（9-a）=

5

2a-9

（x-a）
即5x-（2a-9）y-2a²+22a-81=0，
又点C在圆M上，
所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，
即

|5×2-2(2a-9)-2a2+22a-81|

25+(2a-9)2

≤

34

2

，
化简得a²-9a+18≤0，
解得3≤a≤6；
②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y-7=x-2
即x-y+5=0，M到它的距离d=

|2-2+5|

2

=

5 2

2

＞

34

2

，
这样点C不在圆M上，
还有x+y-9=0，显然也不满足条件，
综上：A点的横坐标范围为[3，6]．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，还涉及了直线中的到角公式，点到直线的距离等．综合性较强，运算量较大．