Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形（记为）

（Ⅰ）求椭圆的方程

（Ⅱ）设点是直线与轴的交点，过点的直线与椭圆相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 椭圆的方程为；（Ⅱ）直线斜率的取值范围为．

【解析】

试题分析：（I）求椭圆的方程，设出椭圆的方程，根据正方形的面积为，求出椭圆中参数的值且判断出参数的关系，根据椭圆的三个参数的关系求出的值，从而得到椭圆的方程．（II）设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用二次方程的韦达定理，可得到弦中点的坐标，当线段的中点落在正方形内部（包括边界），得到中点的坐标满足的不等关系，即，从而可求的的范围．

试题解析：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为=1(a>b>0),焦距为2c，

由题设条件知，a²=8,b=c, 所以b²=a²=4

故椭圆C的方程为=1             (4分) 

（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为x=-4,所以点P的坐标为（-4,0），

显然直线l的斜率k存在，所以直线的方程为y=k(x+4)。

如图，设点M，N的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),线段MN的

中点为G(x₀,y₀)，  由，

得(1+2k²)x²+16k²x+32k²-8=0       ①   （6分）

由D=(16k²)²-4(1+2k²)(32k²-8)>0

解得<k<       ②        （7分）

因为x₁,x₂是方程①的两根，所以x₁+x₂=，

于是x₀==,y₀=k(x₀+4)=    （8分）

∵x₀=≤0，所以点G不可能在y轴的右边.      （9分）

又直线F₁B₂,F₁B₁方程分别为y=x+2,y=-x-2

所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为

即                  （10分）

解得≤k≤，此时②也成立．     （12分）

故直线l斜率的取值范围是[,].    (13分)

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．