Question

3．已知实数x，y满足方程x²+y²=1，则$\frac{y}{x-2}$的取值范围是（　　）

• A． $[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• B． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]∪[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$
• C． $[{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}]$
• D． $（{-∞，-\sqrt{3}}]∪[{\sqrt{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 由$\frac{y}{x-2}$的几何意义，即圆x²+y²=1上的动点与定点P（2，0）连线的斜率求解．

解答 解：如图，
设过P（2，0）的直线的斜率为k，
则直线方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0，
由坐标原点O（0，0）到直线kx-y-2k=0的距离等于1，得
$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得：k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{y}{x-2}$的取值范围是[$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故选：C．

点评 本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了数学转化思想方法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．