Question

9．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1．若对任意m，n∈[-1，1]，m+n≠0都有$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＞0$．
（1）判断函数f（x）的单调性，并简要说明理由；
（2）若f（a+$\frac{1}{2}$）＜f（3a），求实数a的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤（1-2a）t+2对所有x∈[-1，1]和a∈[-1，1]都恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，然后作差可以得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}+（-{x}_{2}）}•（{x}_{1}-{x}_{2}）$，这样根据条件便可得出f（x₁）＜f（x₂），从而说明f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）由（1）便可由$f（a+\frac{1}{2}）＜f（3a）$得到$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤3a≤1}\\{a+\frac{1}{2}＜3a}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出实数a的取值范围；
（3）由（1）可得f（x）_max=f（1）=1，从而可以得到1≤-2ta+t+2对所有的a∈[-1，1]都恒成立，从而有$\left\{\begin{array}{l}{-2t+t+2≥1}\\{2t+t+2≥1}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出实数t的取值范围．

解答 解：（1）设x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，由题意可得：
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}+（-{x}_{2}）}•（{x}_{1}-{x}_{2}）$；
∵x₁，-x₂∈[-1，1]，且x₁+（-x₂）≠0；
∴$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}+（-{x}_{2}）}＞0$；
又x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在定义域[-1，1]上为增函数；
（2）根据（1）由$f（a+\frac{1}{2}）＜f（3a）$得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤3a≤1}\\{a+\frac{1}{2}＜3a}\end{array}\right.$；
解得$\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{3}$；
∴实数a的取值范围为$（\frac{1}{4}，\frac{1}{3}]$；
（3）根据题意，f（x）_max≤（1-2a）t+2对任意a∈[-1，1]恒成立；
∴1≤-2ta+t+2对任意a∈[-1，1]恒成立；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2t+t+2≥1}\\{2t+t+2≥1}\end{array}\right.$；
解得$-\frac{1}{3}≤t≤1$；
∴实数t的取值范围为$[-\frac{1}{3}，1]$．

点评 考查函数单调性的定义，以及根据单调性定义判断一个函数单调性的方法，根据增函数的定义解不等式的方法，根据增函数的定义求函数最值的方法，掌握本题对于恒成立问题的处理方法．