Question

19．如图1，已知矩形ABCD中，点E是边BC上的点，DE与AC相交于点H，且CE=1，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，现将△ACD沿AC折起，如图2，点D的位置记为D′，此时ED′=$\frac{\sqrt{10}}{2}$
（1）求证：D′H⊥AE
（2）求三棱锥B-AED′的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥DE，DH′⊥AC，D′H⊥HE，从而D′H⊥平面ABC，由此能证明D′H⊥AE．
（2）由D′H⊥平面ABC，${V}_{B-AE{D}^{'}}$=${V}_{D-AB{E}^{'}}$，能求出三棱锥B-AED′的体．

解答 证明：（1）在矩形ABCD中，
∵CE=1，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，
∴tan$∠EDC=\frac{CE}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan$∠ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠EDC=∠ACB，
∵$∠DCA+∠ACB=\frac{π}{2}$，∴$∠EDC+∠DCA=\frac{π}{2}$，
∴$∠DHC=\frac{π}{2}$，∴AC⊥DE，∴DH′⊥AC，…（4分）
又△CHE∽△AHD，且CE：AD=1：3，
∴${D}^{'}H=DH=\frac{3}{4}DE=\frac{3}{2}$，HE=$\frac{1}{4}DE=\frac{1}{2}$，
∵ED′=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，∴D′H²+HE²=D′E²，∴D′H⊥HE，
∵直线AC与HE是平面ABC内的两条相交直线，
∴D′H⊥平面ABC，又AE?平面ABC，
∴D′H⊥AE．…（8分）
（2）由（1）知D′H⊥平面ABC，
∴三棱锥B-AED′的体积：
${V}_{B-AE{D}^{'}}$=${V}_{D-AB{E}^{'}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△AB{E}^{'}}•{D}^{'}H$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．