Question

14．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，向量$\overrightarrow{m}$=（tanA+tanB，-tanB），$\overrightarrow{n}$=（b，2c），且$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$
（1）求角A的大小；
（2）若$a=\sqrt{13}$，△ABC的面积为$3\sqrt{3}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，进而由同角三角函数基本关系式可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合A的范围，进而得到∠A的大小；
（2）由已知利用三角形面积公式可求bc=12，利用余弦定理可求b²+c²=25，联立即可解得b，c的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$=（tanA+tanB，-tanB），$\overrightarrow{n}$=（b，2c），
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，可得：b（tanA+tanB）-2ctanB=0，
∴$\frac{sinBsinC}{cosAcosB}$=$\frac{2sinBsinC}{cosB}$，可得：cosA=$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×bc×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴bc=12，①
又∵a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=b²+c²-12=13，可得：b²+c²=25，②
∴联立①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．