Question

5．如图几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=$\sqrt{3}$，且EC⊥BD，
（Ⅰ）设AC，BD相交于点O，求证：直线EO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设M是棱AE的中点，求二面角D-BM-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BD，从而EO⊥AC，EO⊥BD，由此能证明直线EO⊥平面ABCD．
（2）以O 为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-BM-C的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵△ABD 为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，
∴AC⊥BD，且CO=$\frac{1}{2}$，AO=$\frac{3}{2}$，
连接EO，则$\frac{EO}{CE}=\frac{CE}{AC}$，∴EO⊥AC，
又∵O是BD中点，故EO⊥BD，
∵AC∩BD=O，
∴直线EO⊥平面ABCD．
解：（2）如图，以O 为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），D（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C（-$\frac{1}{2}$，0，0），M（$\frac{3}{4}$，0，$\frac{3}{4}$），
$\overrightarrow{DM}$=（$\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{DB}=（0，\sqrt{3}，0）$，
设DBM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=\frac{3}{4}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，1），
$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0$），$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{5}{4}，0，\frac{\sqrt{3}}{4}$），
同理得平面CBM的法向量$\overrightarrow{n}=（-\frac{\sqrt{3}}{5}，\frac{1}{5}，1）$，
设二面角D-BM-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{87}}{29}$．
故二面角D-BM-C的平面角的余弦值为 $\frac{3\sqrt{87}}{29}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．