Question

16．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{x}$
（1）若2f（1）=f（2），求a的值；
（2）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=a-$\frac{2}{x}$，分别求出f（1）和f（2），再由2f（1）=f（2），能求出a．
（2）由（1）得f（x）=3-$\frac{2}{x}$在（-∞，0）上单调递增．利用定义能进行证明．

解答 解：（1）∵f（x）=a-$\frac{2}{x}$，
∴f（1）=a-$\frac{2}{1}$=a-2，f（2）=a-$\frac{2}{2}$=a-1，
∵2f（1）=f（2），2（a-2）=a-1，解得a=3．
（2）由（1）得f（x）=3-$\frac{2}{x}$在（-∞，0）上单调递增．
证明：任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（3-$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（3-$\frac{2}{{x}_{2}}$）=$\frac{2}{{x}_{2}}-\frac{2}{{x}_{1}}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
由x₁-x₂＜0，x₁＜0，x₂＜0，
得$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$，
∴f（x₁）＜f（x₂），
因此f（x）为单调增函数．

点评 本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断与证明，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．