Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1；等比数列{b_n}中，b₁=1．若a₃+S₃=14，b₂S₂=12
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设cn=an+2bn(n∈N*)，数列{c_n}的前n项和为T_n．若对一切n∈N^*不等式T_n≥λ恒成立，求λ的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出；
（II）由于{T_n}是递增数列，可得T_n的最小值为T₁=3．于是T_n≥λ恒成立?（T_n）_min≥λ，即可解得．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则an=1+(n-1)d，bn=qn-1，由题意得：

(1+2d)+(3+3d)=14 q(2+d)=12

，
解得

d=2 q=3

，
∴an=2n-1，bn=3n-1．
（Ⅱ）∵T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
∵{T_n}是递增数列，∴T_n的最小值为T₁=3，
又∵T_n≥λ恒成立，
∴λ≤3，故所求的λ的最大值为3．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式、单调性，属于基础题．