Question

19．在等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，a₁=1，$\frac{{S}_{2017}}{2017}$=$\frac{{S}_{2016}}{2016}$+$\frac{1}{2}$，设T_n是数列{b_n}的前n项和，b_n=lg$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，则T₉₉=2．

Answer 1

分析 由a₁=1，$\frac{{S}_{2017}}{2017}$=$\frac{{S}_{2016}}{2016}$+$\frac{1}{2}$易得公差d=1，根据等差数列的通项公式求得a_n，b_n=lg$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=lg（n+1）-lgn（n∈N^*），利用“累加求和”即可得出数列{b_n}的前99项和T₉₉．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵在等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，a₁=1，$\frac{{S}_{2017}}{2017}$=$\frac{{S}_{2016}}{2016}$+$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\frac{2017（{a}_{1}+{a}_{2017}）}{2}}{2017}$=$\frac{\frac{2016（{a}_{1}+{a}_{2016}）}{2}}{2016}$+$\frac{1}{2}$．即d=a₂₀₁₇-a₂₀₁₆=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n．
∵b_n=lg$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=lg（n+1）-lgn（n∈N^*），
则数列{b_n}的前99项和T₉₉=（lg2-lg1）+（lg3-lg2）+…+（lg100-lg99）=lg100-lg1=2．
故答案是：2．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式及其性质、“累加求和”法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．