Question

11．利用单调性定义判断函数f（x）=$\frac{x-2}{x-1}$（x∈[2，6]）是增函数还是减函数，并求出最值．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{x-2}{x-1}$=1-$\frac{1}{x-1}$（x∈[2，6]）是增函数，利用定义法能进行证明，根据函数的单调性能求出最值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{x-2}{x-1}$=1-$\frac{1}{x-1}$（x∈[2，6]）是增函数．
证明如下：
在[2，6]内任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{1}{{x}_{1}-1}$）-（1-$\frac{1}{{x}_{2}-1}$）=$\frac{1}{{x}_{2}-1}-\frac{1}{{x}_{1}-1}$，
∵x₁，x₂∈[2，6]，x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{2}-1}-\frac{1}{{x}_{1}-1}$＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=$\frac{x-2}{x-1}$（x∈[2，6]）是增函数．
∴f（x）_min=f（2）=0，$f（x）_{max}=f（6）=\frac{6-2}{6-1}$=$\frac{4}{5}$．
∴f（x）在[2，6]上的最小值为0，最大值为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查函数的单调性的判断与证明，考查最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．