Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，M、N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面?ABCD对角线AC的中点，求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：推理和证明

分析：利用三角形的中位线定理易证MO

∥

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PC，ON

∥

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AB，再由线面平行的判定定理证得MO∥平面PCD，ON∥平面PCD，最后利用面面平行的判定定理即可证得结论成立．

解答： 证明：∵M、O分别为PA和底面AC边的中点，
∴MO是△PAO的中位线，
∴MO

∥

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PC，
又MO?平面PCD，PC?平面PCD，
∴MO∥平面PCD；①
又N是底面BC边的中点，ON是△ABO的中位线，ON

∥

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AB，底面ABCD为平行四边形，AB

∥

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CD，
∴ON

∥

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CD，同理可证，ON∥平面PCD；②
又OM∩ON=O，OM?平面OMN，ON?平面OMN，③
由①②③得：平面OMN∥平面PCD（面面平行的判定定理）．

点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查三角形的中位线定理与线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，考查推理能力，考查转化思想．