Question

已知E为圆C：(x+

3

)2+y2=16上的任意一点，A点坐标为(

3

，0)线段AE的垂直平分线与直线CE相交于点Q（C点为圆心）．
（Ⅰ）当E点在圆C上运动时，求Q点轨迹M的方程；
（Ⅱ）若一直线与曲线M相交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）连结QA，根据题意可得动点Q的轨迹M是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出动点Q的轨迹M的方程．
（Ⅱ）根据直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出直线方程，求出点O到直线l的距离，由此能求出S_△OPQ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由圆的方程可知，圆心C（-

3

，0），A(

3

，0)，半径等于4，
设点Q的坐标为（x，y ），
∵线段AE的垂直平分线与直线CE相交于点Q，
∴|QA|=|EQ|． 
又|CQ|+|QE|=4（半径），
∴|QC|+|QA|=4＞|AC|=2．
∴点Q的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a=4，c=

3

，
∴a=2，b=1，
∴点M的轨迹方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）设直线方程为y=kx+m，由

y=kx+m x2+4y2=1

，消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
则△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
则x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

，
故y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k2，
即km(x1+x2)+m2=0，则-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
由于m≠0，故k²=

1

4

⇒k=±

1

2

，
∴直线l的斜率k为±

1

2

．
（3）∵直线OQ的斜率存在且不为0，及△＞0
∴0＜m²＜2，且m≠1．
设d为点O到直线l的距离，
则S△OPQ=

1

2

d|PQ|=

1

2

|m|

1+k2

•

1+k2

|x1-x2|=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2(2-m2)

，
则S_△OPQ＜

m2+2-m2

2

=1，
∴S_△OPQ的取值范围为（0，1）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用，综合性较强，难度较大．