Question

已知函数f(x)=cos(x+

π

2

)，g(x)=sin(x-

π

2

)，给出下列命题：
①函数y=f（x）g（x）的最小正周期为2π；
②函数y=f（x）-g（x）的最大值是

2

；
③函数y=f（2x）的图象可由y=g（2x）的图象向左平移

π

4

个单位得到；
④函数y=f（2x）的图象可由y=g（2x）的图象向右平移

π

4

个单位得到．
其中正确命题的序号是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：对f（x）g（x）根据诱导公式和二倍角公式进行化简，进而可求出其最小正周期可判断①；根据诱导公式和两角和与差的公式进行化简，进而可求得最大值，可判断②；根据三角函数平移的左加右减原则进行平移可判断③和④．

解答：解：∵f（x）g（x）=cos（x+

π

2

）sin（x-

π

2

）=sinxcosx=

1

2

sin2x
∴T=

2π

2

=π，故①不对；
∵y=f（x）-g（x）=cos（x+

π

2

）-sin（x-

π

2

）=cosx-sinx=

2

cos（x+

π

4

）
∴y=f（x）-g（x）的最大值为

2

，故②正确；
将y=g（2x）=sin（2x-

π

2

）向左平移

π

4

得到y=sin[2（x+

π

4

）-

π

2

]=sin2x
又∵y=f（2x）=cos（2x+

π

2

）=-sin2x
故③不对；
将y=g（2x）=sin（2x-

π

2

）向右平移

π

4

得到y=sin[2（x-

π

4

）-

π

2

]=-sin2x
又∵y=f（2x）=cos（2x+

π

2

）=-sin2x
故④正确
故答案为：②④．

点评：本题主要考查三角函数的最小正周期、最值和三角函数的平移问题．考查基础知识的综合应用和灵活应用能力．对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累和练习．