Question

（本小题满分12分）
如图所示， 四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA^CD，PA = 1， PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．

（Ⅰ）求证：PA^平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ） 见解析；
（Ⅱ）二面角D—AC―E的平面角的余弦值为；
（Ⅲ）存在PC的中点F, 使得BF//平面AEC．

本试题主要是考查了线面的垂直的证明以及二面角的求解，以及线面平行的判定定理的综合运用
（1）根据已知结合勾股定理和线面垂直的判定定理得到。
（2）建立空间直角坐标系，然后设出点的坐标和向量的坐标，借助于向量的数量积的性质，表示向量的夹角，得到二面角的平面角的求解。
（3）假设存在点PC的中点F, 使得BF//平面AEC．，那个根据假设推理论证，得到结论。
解：（Ⅰ）  PA =" PD" =" 1" ,PD =" 2" ,
 PA² + AD² = PD², 即：PA ^ AD      ---2分
又PA ^ CD , AD , CD 相交于点D,
 PA ^平面ABCD                -------4分
（Ⅱ）过E作EG//PA 交AD于G，
从而EG ^平面ABCD，
且AG =" 2GD" , EG = PA = ,                                 ------5分
连接BD交AC于O, 过G作GH//OD ，交AC于H，

连接EH．GH ^ AC , EH ^ AC ,
Ð EHG为二面角D—AC―E的平面角．                        -----6分
tanÐEHG = = ．二面角D—AC―E的平面角的余弦值为-------7分
（Ⅲ）以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 , ,）, = （1,1,0）,
 = （0 , , ）                                               
设平面AEC的法向量= （x, y,z） , 则
 ，即：， 令y =" 1" ,
则 = （- 1,1, - 2 ）                                      -------------10分
假设侧棱PC上存在一点F, 且＝  ，
（0 £ £ 1）, 使得：BF//平面AEC, 则× ＝ 0．
又因为：＝ +  ＝ （0 ，1，0）+ （-,-,）= （-,1-,）,
× ＝+ 1- - 2 =" 0" ,  = ,
所以存在PC的中点F, 使得BF//平面AEC．                  ----------------12分