Question

（本小题10分）已知正方体，是底对角线的交点.

求证：（１）∥面；
（2 ）面． 

Answer 1

见解析。

本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．
（1）欲证C₁O∥面AB₁D₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C₁O与面AB₁D₁内一直线平行，连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O1，连接AO₁，易得C₁O∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁，满足定理所需条件；
（2）欲证A₁C⊥面AB₁D₁，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A₁C与面AB₁D₁内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A₁C⊥B₁D₁，同理可证A₁C⊥AB₁，又D₁B₁∩AB₁=B₁，满足定理所需条件．
证明：（1）连结，设连结，
 是正方体  
是平行四边形
∴A₁C₁∥AC且                
又分别是的中点，
∴O₁C₁∥AO且
是平行四边形                 
面，面
∴C₁O∥面                      
（2）面     
又，            
                   
同理可证，         
又
面