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(本题满分12分)如图,底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,AC="1," PA="2," PB=PD=,点M是PD的中点.

(Ⅰ)证明:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若AN为PD边的高线,求二面角M-AC-N的余弦值.

证明:见解析;
(Ⅱ)
本试题主要是考查了线面垂直的判定和二面角平面角的求解的综合运用。
(1)要证明线面垂直,要通过判定定理线线垂直得到线面垂直,关键是证明
(2)建立空间直角坐标系,然后表示出平面的法向量与法向量的夹角,进而求解二面角的平面角的大小的求解。

证明:(Ⅰ)∵菱形ABCD中∠ABC=60°,
ABC为等边三角形
--------1分
又∵
∴有
-------3分
,而
平面(4分)
(Ⅱ)取BC中点E,连结AE,则AE⊥BC.以点A为坐标原点,AE为x轴正向,AD为y轴正向,AP为z轴正向建立空间直角坐标系,则
(5分)
PAD内,AD="1," AP=2,∴PD=, AN=,点
(6分)
设平面AMC的一个法向量为,则

令y="1," 则,得平面AMC的一个法向量;(8分)
设平面ANC的法向量为,则
令y="1," 得平面ANC的一个法向量(10分)
设二面角M-AC-N的平面角为,由图像知其必为锐角,从而有(12分)
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.

(Ⅰ)求证:PB⊥DM;
(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题10分)已知正方体是底对角线的交点.

求证:(1)∥面
(2 ). 

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在正方体
⑴求证:
⑵求异面直线所成角的大小.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题12分)如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点.

(1)求证:
(2)求证:

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分14分)在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起到DA1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2)

(Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP;
(Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小。

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

是两条直线,是两个平面,则下列4组条件中:①;②;③;④
能推得的条件有(      )组。
A.B.C.D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

在空间中,下列命题正确的是
A.平面内的一条直线垂直与平面内的无数条直线,则
B.若直线与平面内的一条直线平行,则
C.若平面,且,则过内一点垂直的直线垂直于平面
D.若直线与平面内的无数条直线都垂直,则不能说一定有.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

在下列条件中,可判断平面与平面平行的是(  )
A.都垂直于平面
B.内存在不共线的三点到平面的距离相等
C.内两条直线,且
D.是两条异面直线,且

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