Question

对于函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，如果方程f(x)＝x有相异的两根x1、x2． (1) 若x1＜1＜x2，且f(x)的图象关于直线x＝m对称，求证：m＞ (2) 若0＜x1＜2且｜x1－x2｜＝2，求b的取值范围 (3) 若α、β为区间［x1，x2］上的两个不同的点，求证：2aαβ－(1－b)(α＋β)＋2＜0．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：设g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋1，且a＞0．∵xl＜1＜x2 　　∴(x1－1)(x2－1)＜0，即x1x2＜(x1＋x2)－1． 　　于是x＝m＝－＝＝(x1＋x2)－x1x2＞(x1＋x2)－［(x1＋x2)－1］＝．
(2)	由方程g(x)＝ax2＋(b－1)x＋1＝0，可知x1x2＝＞0，∴xl、x2同号．由0＜x1＜2，得x2－x1＝2，∴x2＝x1＋2＞2，∴g(2)＜0． 　　即4a＋2b－1＜0．　① 　　又(x2－x1)2＝－＝4 　　∴2a＋1＝(∵a＞0)，代入①式，得2＜3－2b，解得b＜．
(3)	由条件得，x1＋x2＝，x1x2＝． 　　不妨设α＝β，则0＞2(α＋x1)(β－x2)＝2αβ－2(βx1－ax2)＋2x1x2＝2αβ－(x1＋x2)(α＋β)＋2x1x2＋(x1－x2)(α－β)＞2αβ－(x1＋x2)(α＋β)＋2x1x2＝2αβ－＋ 　　故2aαβ－(1－b)(α＋β)＋2＜0． 　　点评：二次函数、二次方程、二次不等式是高中数学教学的重点内容，也是数学高考的重点内容．本例通过三个“二次”间的相互联系，利用数形结合将对称轴x＝m＝－＝＝(x1＋x2)－x1x2与韦达定理相结合，从而得出m的取值范围；由二次方程的根的分布得出一组关于字母b的不等式；由不等式的基本性质结合目标函数“2aαβ－(1－b)(α＋β)＋2＜0”展开推理．