Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AE=3EB；
（Ⅰ）若A₁F=

1

3

FA，求证：EF∥面DD₁C₁C；
（Ⅱ） 求二面角A-EC-D₁的正切值、

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证FE∥面DD₁C₁C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证FE与面DD₁C₁C内一直线平行，连A₁B，根据比例关系可知FE∥A₁B，又D₁C∥A₁B，则EF∥D₁C，EF?面DD₁C₁C，D₁C?面DD₁C₁C，满足定理所需条件；
（Ⅱ）过点D作DG⊥EC，连接D₁G，根据二面角平面角的定义可知∠D₁GD就是二面角A-EC-D₁的平面角，然后在△D₁DG中求出此角的正切值即可求得所求．

解答：解：（Ⅰ）连A₁B，∵AE=3EB.A1F=

1

3

FA
∴

AE

EB

=

AF

FA1

=3，∴FE∥A₁B，又D₁C∥A₁B
∴EF∥D₁C，EF?面DD₁C₁C，D₁C?面DD₁C₁C
∴FE∥面DD₁C₁C
（Ⅱ）过点D作DG⊥EC，连接D₁G．
由DD₁⊥平面ABCD得D₁G⊥CE，又DG⊥EC，DG∩DD₁=D，
∴CE⊥平面D₁DG．∴CE⊥D₁G，
∴∠D₁GD就是二面角A-EC-D₁的平面角．
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，则AE=3，EB=1．
CE=

42+1

=

17

，△DEC中，由等面积法，DG=

4×4

17

=

16

17

．
∴△D₁DG中，tanD1GD=

DD1

DG

=

4

16 17

=

17

4

．
∴二面角A-EC-D₁的正切值为

17

4

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及二面角的度量，求二面角，关键是构造出二面角的平面角，同时考查了计算能力，属于中档题．