Question

12．函数f（x）=x³+mx²+nx+1（m，n∈R）在区间[1，2]上单调递增，则3m+n的最小值为-$\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 求导数，利用f（x）=x³+mx²+nx+1（m，n∈R）在区间[1，2]上单调递增，3x²+2mx+n≥0在区间[1，2]上恒成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n≥-3}\\{4m+n≥-12}\end{array}\right.$，利用3m+n=$\frac{1}{2}$（2m+n+4m+n），即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=x³+mx²+nx+1，
∴f′（x）=3x²+2mx+n，
∵f（x）=x³+mx²+nx+1（m，n∈R）在区间[1，2]上单调递增，
∴3x²+2mx+n≥0在区间[1，2]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+2m+n≥0}\\{12+4m+n≥0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n≥-3}\\{4m+n≥-12}\end{array}\right.$，
∴3m+n=$\frac{1}{2}$（2m+n+4m+n）≥-$\frac{15}{2}$，
∴3m+n的最小值为-$\frac{15}{2}$．
故答案为：-$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查函数的单调性，考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．