Question

12．某农户种植甲、乙两种有机蔬菜，已知种植每吨甲种有机蔬菜需要用A原料3吨，B原料2吨；种植每吨乙种有机蔬菜需要用A原料1吨，B原料3吨；销售每吨甲种有机蔬菜可获得利润为5万元，销售每吨乙种有机蔬菜可获得利润为3万元元，该农户在一个种植周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该农户可获得最大利润是多少？

Answer 1

分析 先设该农户种植甲蔬菜为x吨，乙蔬菜为y吨，列出约束条件，根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z的最大值．

解答 解：设种植甲种有机蔬菜x吨，乙种有机蔬菜y吨，利润为z，
则有z=5x+3y，且x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{3x+y≤13}\\{2x+3y≤18}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
如图所示作出可行域后，求出可行域边界上各端点的坐标．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=13}\\{2x+3y=18}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，
分析可知当直线y=$\frac{z-5x}{3}$经过点（3，4），
即种植甲种有机蔬菜3吨，乙种有机蔬菜4吨时，可获得最大利润为27万元．

点评 在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件；②由约束条件画出可行域；③分析目标函数Z与直线截距之间的关系；④使用平移直线法求出最优解；⑤还原到现实问题中．