Question

4．已知{a_n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S_n，且S₂=3，S₄=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}是等差数列，且b₃=a₃，b₅=a₅，试求数列{b_n}的前n项和M_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意分析知q≠1．运用等比数列的求和公式，解方程可得首项与公比，由等比数列的通项公式即可得到所求；
（Ⅱ）设数列{b_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式可得公差和首项，运用等差数列的求和公式，进而得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意分析知q≠1．
由S₂=3，S₄=15得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{a_1}（{1-{q^2}}）}}{1-q}=3…（1）\\ \frac{{{a_1}（{1-{q^4}}）}}{1-q}=15…（2）\end{array}\right.$，
$\frac{（2）}{（1）}$得1+q²=5，得q²=4，由题意q＞0，所以q=2．
将q=2代入（1）式得a₁=1，
所以${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={2^{n-1}}$．
（Ⅱ）设数列{b_n}的公差为d，
∵${b_3}={a_3}={2^2}=4，{b_5}={a_5}={2^4}=16$，
又{b_n}为等差数列，∴b₅=b₃+（5-3）d，
即16=4+2d，解得d=6，
又由b₃=b₁+（3-1）d，得b₁=-8
∴${M_n}=n{b_1}+\frac{{n（{n-1}）}}{2}d=-8n+\frac{{n（{n-1}）}}{2}×6$
=3n²-11n．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．