Question

14．已知函数f（x）的导函数f'（x）满足2f（x）+xf′（x）＞x²（x∈R），则对?x∈R都有（　　）

• A． x²f（x）≥0
• B． x²f（x）≤0
• C． x²[f（x）-1]≥0
• D． x²[f（x）-1]≤0

Answer 1

分析 构造函数F（x）=x²f（x），求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．

解答 解：构造函数F（x）=x²f（x），
则F'（x）=2xf（x）+x²f'（x）=x（2f（x）+xf'（x）），
当x＞0时，F'（x）＞x³＞0，F（x）递增；
当x＜0时，F'（x）＜x³＜0，F（x）递减，
所以F（x）=x²f（x）在x=0时取最小值，
从而F（x）=x²f（x）≥F（0）=0，
故选A．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．