Question

4．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，底面边长的侧棱长均为2，A₁B=$\sqrt{6}$．
（1）求证：A₁B⊥平面AB₁C．
（2）求证A₁到平面BB₁C₁C的距离．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明A₁B⊥平面AB₁C．
（2）求出三棱锥A₁-ABC的体积，利用体积法即可求证A₁到平面BB₁C₁C的距离．

解答 （I）证明：取AC的中点O，A₁O，BO．
因为△ABC是等边三角形，所以BO⊥AC．…（1分）
因为侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，侧面A₁ACC₁∩底面ABC=AC，BO⊥AC，
所以BO⊥侧面ACC₁A．A₁O?侧面ACC₁A，∴BO⊥A₁O．…（2分）
在Rt△A₁BO中，
因为${A_1}B=\sqrt{6}，BO=\sqrt{3}$，所以${A_1}O=\sqrt{3}$．
AA₁=2，AO=1，所以${A_1}{O^2}+A{O^2}=A{A_1}^2$．
所以△A₁AO为直角三角形，
所以A₁O⊥AC．…（3分）
又BO⊥AC，A₁O∩BO=O，
所以AC⊥平面A₁BO．A₁B?平面A₁BO，
所以A₁B⊥AC．…（4分）
因为四边形ABB₁A₁为菱形，所以A₁B⊥AB₁．
…（5分）
因为A₁B∩AC=A，所以A₁B⊥平面AB₁C．…（6分）
（II）由（I）知，A₁O⊥底面$ABC，{A_1}O=\sqrt{3}$．
所以三棱锥A₁-ABC的体积为${V_{{A_1}-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•{A_1}O=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{3}=1$．
所以四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积为2．…（7分）
过C₁作C₁D⊥AC交AC的延长线于D，连BD．
则C₁D⊥底面$ABC，{C_1}D={A_1}O=\sqrt{3}$．
在Rt△C₁DC中，得$CD=\sqrt{4-3}=1$．…（8分）
在△BDC中，BD²=2²+1²-2×2×1×cos120°=7，∴$BD=\sqrt{7}$．…（9分）
在Rt△BC₁D中，得$B{C_1}=\sqrt{7+3}=\sqrt{10．}$…（10分）
菱形BB₁C₁C中，得${B_1}C=2\sqrt{4-\frac{10}{4}}=\sqrt{6}$．
所以菱形BB₁C₁C的面积为$\sqrt{15}$．…（11分）
设所求为h，可得$\frac{1}{3}×\sqrt{15}×h=2$，解得$h=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$．…（12分）
所以点A₁到平面BB₁C₁C的距离为$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$．

点评 本题主要考查线面垂直的判断以及点到平面的距离，根据体积法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．