Question

12．已知曲线C的极坐标方程为ρ-4cosθ=0，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（3，0），倾斜角为$\frac{π}{6}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）设直线l与曲线C交于AB两点，求|MA|+|MB|．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．由直线l过点M（3，0），倾斜角为$\frac{π}{6}$，可得参数方程．
（2）把直线l代入圆的直角坐标方程x²+y²-4x=0，得${（{3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）^2}+\frac{1}{4}{t^2}-4（{3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）=0$，化简后利用韦达定理可求t₁+t₂，t₁t₂的值，由|MA|+|MB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可求值得解．

解答 （本题满分10分）
解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，
∴x²+y²=4x，
∴对于l：有$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}（{t为参数}）}\right.$．
（2）设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂
将直线l的参数方程带入圆的直角坐标方程x²+y²-4x=0，
得${（{3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）^2}+\frac{1}{4}{t^2}-4（{3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）=0$，
化简得${t^2}+\sqrt{3}t-3=0$，
$\begin{array}{l}∴{t_1}+{t_2}=-\sqrt{3}，{t_1}{t_2}=-3\\∴|{MA}|+|{MB}|=|{t_1}|+|{t_2}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{15}\end{array}$

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题．