Question

2．如图所示，DC⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2．
（Ⅰ） 求证：AF∥平面CDE；
（Ⅱ） 求平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明AF∥平面CDE．
（Ⅱ）求出平面AEF的一个法向量和平面ABCD一个法向量，利用向量法能求出平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴，
建立如图所示空间直角坐标系．
则C（0，0，0），B（2，0，0），D（0，0，4），E（0，4，0），A（2，0，4），F（2，2，0），
则$\overrightarrow{AF}$=（0，2，-4），$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0）．
$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0）为平面CDE的一个法向量．  …（3分）
又$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CB}$=0，AF?平面CDE，
∴AF∥平面CDE． …（5分）
解：（Ⅱ）设平面AEF的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AE}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{AE}=（-2，4，-4），\overrightarrow{AF}=（0，2，-4）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2{x_1}+4{y_1}-4{z_1}=0\\ 2{y_1}-4{z_1}=0\end{array}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow{n_1}=（2，2，1）$．  …（8分）
又∵CE⊥平面ABCD，∴平面ABCD一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{CE}=（0，4，0）$，
设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为α，
则$cosα=|{\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_1}}|}}}|=\frac{2×4}{3×4}=\frac{2}{3}$
因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为$\frac{2}{3}$． …（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．