Question

13．如图所示，45°的二面角的棱上有两点A，B，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AC=1，AB=$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{2}$，求CD的长．

Answer 1

分析 根据二面角的大小，利用向量的数量积的应用即可求CD的长度．

解答 解：由已知$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{AB}$，即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$＞=45°，
∵$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，
∴${|{\overrightarrow{CD}}|^2}={（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）^2}={|{\overrightarrow{CA}}|^2}+{|{\overrightarrow{AB}}|^2}+{|{\overrightarrow{BD}}|^2}+2|{\overrightarrow{CA}}||{\overrightarrow{BD}}|cos{135°}$
=$1+3+2-2|{\overrightarrow{AC}}||{\overrightarrow{BD}}|cos{45°}=4$，
∴CD=2

点评 本题主要考查向量数量积的应用，结合二面角的大小运用向量法是解决本题的关键．