Question

8．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（2）证明：ln（$\frac{5}{4}$）+ln（$\frac{10}{9}$）+ln（$\frac{17}{16}$）+…+ln（$\frac{{{n^2}+1}}{n^2}$）＜1（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

分析 （1）由题意可得k≥$\frac{1+lnx}{x}$，令h（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，求得导数和单调区间，可得最大值，即可得到k的范围；
（2）由（1）知，lnx≤x-1，当且仅当x=1时，取等号．令x=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$（n∈N^*，n≥2），有ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．

解答 （1）解：函数f（x）=lnx-kx+1，f（x）≤0有kx≥1+lnx，x＞0，
即k≥$\frac{1+lnx}{x}$，令h（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，h′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$=0，解得x=1，
在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．
所以h（x）在x=1时，取得最大值h（1）=1，即k≥1；
（2）证明：由（1）知，当k=1时，lnx≤x-1，当且仅当x=1时，取等号．
令x=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$（n∈N^*，n≥2），
有ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
所以有ln（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）＜1-$\frac{1}{2}$，ln（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，…，ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
累加得：ln（$\frac{5}{4}$）+ln（$\frac{10}{9}$）+ln（$\frac{17}{16}$）+…+ln（$\frac{{{n^2}+1}}{n^2}$）＜1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$＜1（n∈N^*，n≥2）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查不等式的证明，注意运用不等式的性质和累加法，考查运算化简能力，属于中档题．