Question

20．如图，已知三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧棱与底面垂直，AB=BC=AA₁，∠ABC=90°，M是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面AMC₁；
（2）求平面A₁B₁M与平面AMC₁所成角的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C，交AC₁于点O，连结OM，则A₁B∥OM，由此能证明A₁B∥平面AMC₁．
（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A₁B₁M与平面AMC₁所成角的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）连结A₁C，交AC₁于点O，连结OM，
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点，
又∵M为BC中点，∴OM为△A₁BC中位线，
∴A₁B∥OM，
∵OM?平面AMC₁，A₁B?平面AMC₁，
∴A₁B∥平面AMC₁．
解：（2）∵三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧棱与底面垂直，AB=BC=AA₁，∠ABC=90°，M是BC的中点，
∴以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，2），A₁（0，2，2），
则$\overrightarrow{AM}$=（1，-2，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（2，-2，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（1，0，-2），
$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（1，0，-2），
设平面AMC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=x-2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=2x-2y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（2，1，-1），
设平面A₁B₁M的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=-2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}M}=a-2c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4-1}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
∴平面A₁B₁M与平面AMC₁所成角的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．