Question

9．已知P是圆C：x²+y²=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MP}$，当P在圆C上运动时，点M形成的轨迹为曲线E
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AD}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用代入法，求曲线E的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设直线l：y=kx+2与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量得出坐标关系，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．

解答 解：（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆x²+4y²=4上，如图1，
所以x²+4y²=4，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…..（4分）
（II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l存在斜率如图2．
设直线l：y=kx+2．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.⇒（1+4{k^2}）{x^2}+16kx+12=0$．…（6分）
△=（16k）²-4（1+4k²）•12＞0，得${k^2}＞\frac{3}{4}$．
${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{1+4{k^2}}}$…．①，${x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}$…②．…（8分）
又由$\overrightarrow{AC}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AD}$，得${x_1}=\frac{3}{5}{x_2}$，
将它代入①，②得k²=1，k=±1（满足${k^2}＞\frac{3}{4}$）．
所以直线l的斜率为k=±1．所以直线l的方程为y=±x+2…（12分）

点评 本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、向量知识的运用，属于中档题．