Question

14．如图，在多面体ABCDEF中，CDEF为矩形，ABCD为直角梯形，平行CDEF⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，ED=$\sqrt{3}$，M为线段EA上动点．
（Ⅰ）若M为EA中点，求证：AC∥平面MDF；
（Ⅱ）线段EA上是否存在点M，使平面MDF与平面ABCD所成的锐二面角大小为$\frac{π}{3}$？若存在，求出AM的长度，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结CE交DF于O，则OM∥AC，由此能证明AC∥平面MDF．
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当AM=（2$\sqrt{3}$-3）AE时，平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的大小为$\frac{π}{3}$．

解答 证明：（Ⅰ）连结CE交DF于O，
∵CDEF为矩形，∴O为CE中点，
又M为EA中点，∴OM∥AC，
又AC?平面MDF，OM?平面MDF，
∴AC∥平面MDF．
解：（Ⅱ）假设线段EA上存在点M，使平面MDF与平面ABCD所成的锐二面角大小为$\frac{π}{3}$．
理由如下：
∵平面CDEF⊥平面ABCD，
在矩形CDEF中，ED⊥DC，平面CDEF∩平面ABCD=CD，
∴ED⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴ED⊥AD，
又CD⊥AD，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），F（0，2，$\sqrt{3}$），
由题意知M，E重合时不符合，设$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AE}$，（0≤λ＜1），
则M（1-λ，0，$\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{DM}$=（1-λ，0，$\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{DF}$=（0，2，$\sqrt{3}$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面DMF的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=（1-λ）x+\sqrt{3}λz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=2y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}λ}{λ-1}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
又ED⊥平面ABCD，∴平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵线段EA上存在点M，使平面MDF与平面ABCD所成的锐二面角大小为$\frac{π}{3}$，
∴cos$\frac{π}{3}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}λ}{λ-1}）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，
解得$λ=2\sqrt{3}-3$∈[0，1]，或$λ=-（2\sqrt{3}+3）∉$[0，1]，（舍去），
∴当AM=（2$\sqrt{3}$-3）AE时，平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的大小为$\frac{π}{3}$，
此时AM=4$\sqrt{3}-6$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．