Question

19．如图1，在直角梯形ADCE中，AD∥EC，∠ADC=90°，AB⊥EC，AB=EB=1，$BC=\sqrt{2}$．将△ABE沿AB折到△ABE₁的位置，使∠BE₁C=90°．M，N分别为BE₁，CD的中点．如图2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ADE₁；
（Ⅱ）求证：AM⊥E₁C；
（Ⅲ）求平面AE₁N与平面BE₁C所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，以E₁为原点，E₁B为x轴，E₁C为y轴，过E₁作平面E₁BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AM⊥E₁C．
（Ⅲ）求出平面AE₁N的法向量和平面BE₁C的法向量，利用向量法能求出平面AE₁N与平面BE₁C所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）由题意，以E₁为原点，E₁B为x轴，E₁C为y轴，过E₁作平面E₁BC的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则M（$\frac{1}{2}$，0，0），N（0，1，$\frac{1}{2}$），E₁（0，0，0），A（1，0，1），D（0，1，1），
$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{E}_{1}A}$=（1，0，1），$\overrightarrow{{E}_{1}D}$=（0，1，1），
设平面ADE₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{E}_{1}A}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{E}_{1}D}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
∵$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}$=0，∴$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{n}$，
又MN?平面ADE₁，∴MN∥平面ADE₁．
（Ⅱ）C（0，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{1}{2}$，0，-1），$\overrightarrow{{E}_{1}C}$=（0，1，0），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{{E}_{1}C}$=0，
∴AM⊥E₁C．
解：（Ⅲ）$\overrightarrow{{E}_{1}A}$=（1，0，1），$\overrightarrow{{E}_{1}N}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），
设平面AE₁N的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{E}_{1}A}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{E}_{1}N}=y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
又平面BE₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{3}$，
∴平面AE₁N与平面BE₁C所成锐二面角的余弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．