Question

8．如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F是CD上的点，AB=AE=$\frac{2}{3}$AD=4，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，并使平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE⊥平面PEF．
（1）求$\frac{DF}{FC}$的比值；
（2）求二面角E-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，过D作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出$\frac{DF}{FC}$的比值．
（2）求出平面PBC的法向量和平面PBE的法向量，利用向量法能求出二面角E-PB-C的余弦值．

解答 解：（1）以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，过D作平面BCDE的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
P（4，2，2$\sqrt{2}$），B（6，4，0），E（2，0，0），设F（0，t，0），
$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PE}$=（-2，-2，-2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PF}$=（-4，t-2，-2$\sqrt{2}$），
设平面PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x+2y-2\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=-2x-2y-2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设平面PEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=-2a-2b-2\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PF}=-4a+（t-2）b-2\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取b=2，得$\overrightarrow{m}$=（t，2，-$\frac{t+2}{\sqrt{2}}$），
∵平面PBE⊥平面PEF，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=t-2=0，解得t=2．
∴DF=2，FC=4-2=2，
∴$\frac{DF}{FC}$=1．
（2）C（0，4，0），$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（-4，2，-2$\sqrt{2}$），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PB}=2x+2y-2\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PC}=-4x+2y-2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{p}$=（0，$\sqrt{2}$，1），
由（1）得平面PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由图形得二面角E-PB-C的平面角为锐角，
∴二面角E-PB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查两线段比值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．