Question

16．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为$Rarccos\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．

解答 解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，
因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
E为BO的中点，AE=$\sqrt{{R}^{2}+\frac{{R}^{2}}{4}-2•R•\frac{R}{2}cos45°}$=$\sqrt{\frac{5-2\sqrt{2}}{4}}$R，
AP=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}R）^{2}+（\sqrt{\frac{5-2\sqrt{2}}{4}}R）^{2}}$=$\frac{\sqrt{8-2\sqrt{2}}}{2}$R，
AP²=OP²+OA²-2OP•OAcos∠AOP，
∴（$\frac{\sqrt{8-2\sqrt{2}}}{2}$R）²=R²+R²-2R•Rcos∠AOP，
∴cos∠AOP=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∠AOP=arccos$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴A、P两点间的球面距离为$Rarccos\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
故答案为：$Rarccos\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．