Question

6．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角α=$\frac{π}{6}$，
（1）若以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，写出直线l的极坐标方程与参数方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之和．

Answer 1

分析 （1）由已知条件先求出直线l的参数方程，再求出直线l的普通方程，由此能求出直线的极坐标方程．
（2）把圆C的参数方程化为普通方程，把直线参数方程代入x²+y²=4，得${t}^{2}+（\sqrt{3}+1）t-2=0$，由此能示出点P到A，B 两点的距离之和．

解答 解：（1）∵直线l经过点P（1，1），倾斜角α=$\frac{π}{6}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=1+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，…（2分）
直线l的普通方程为：$\sqrt{3}x-3y+3-\sqrt{3}=0$，
所以极坐标方程为$2ρcos（θ+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1=0$…（5分）
（2）圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）化为普通方程为x²+y²=4，
把直线$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入 x²+y²=4，得（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²+（1+$\frac{1}{2}t$）²=4，
∴${t}^{2}+（\sqrt{3}+1）t-2=0$，
t₁+t₂=$-（\sqrt{3}+1）$，t₁×t₂=-2，
则点P到A，B 两点的距离之和$|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{12+2\sqrt{3}}$．…（10分）

点评 本题考查直线的极坐标方程与参数方程的求法，考查点到两点的距离之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标的互化公式的合理运用．