Question

4．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=AB=AC，BC=$\sqrt{2}$AB，且AA₁⊥平面ABC，点M、Q分别是BC、CC₁的中点，点P是棱A₁B₁上的任一点．
（1）求证：AQ⊥MP；
（2）若平面ACC₁A₁与平面AMP所成的锐角二面角为θ，且cosθ=$\frac{2}{3}$，试确定点P在棱A₁B₁上的位置，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得AB⊥AC，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AQ⊥MP．
（2）求出平面ACC₁A₁的一个法向量和平面AMP的一个法向量，利用向量法能求出P（$\frac{1}{2}，0，1$），P是棱A₁B₁的中点．

解答 证明：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC，BC=$\sqrt{2}$AB
∴由已知得AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
又AA₁⊥平面ABC，∴AA₁，AB，AC两两垂直，
如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=1，则A（0，0，0），C（0，1，0），B（1，0，0），M（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），Q（0，1，$\frac{1}{2}$），
设P（x₀，0，1），（0≤x₀≤1），
$\overrightarrow{AQ}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{MP}$=（${x}_{0}-\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1），
∵$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{MP}$=0-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$，∴$\overrightarrow{AQ}$⊥$\overrightarrow{MP}$，
∴AQ⊥MP．
解：（2）由已知得AB⊥平面ACC₁A₁，
∴平面ACC₁A₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），$\overrightarrow{AP}$=（x₀，0，1），
设平面AMP的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}={x}_{0}x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-x₀），
∵平面ACC₁A₁与平面AMP所成的锐角二面角为θ，且cosθ=$\frac{2}{3}$，
∴cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2+{x}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，
解得x₀=$\frac{1}{2}$，
∴P（$\frac{1}{2}，0，1$），∴P是棱A₁B₁的中点．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点的位置关系的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．