Question

12．在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，AD⊥PA，△ADC、△PAD均为等腰三角形，AD=4AB=4，M为线段CP上一点，且$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PC}$（0≤λ≤1）．
（1）若λ=$\frac{1}{4}$，求证：MB∥平面PAD；
（2）若λ=$\frac{1}{8}$，求二面角C-AB-M的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．

解答 解：（1）在PD上取一点E，使PE=$\frac{1}{4}$PD，
∵$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PC}$（0≤λ≤1）．且λ=$\frac{1}{4}$，
∴ME∥CD，且ME=$\frac{1}{4}$CD，
∵AB∥CD，且AB=$\frac{1}{4}$CD，
∴ME∥AB，ME=AB，
则四边形ABME是平行四边形，
∴MB∥AE，
∵AE?平面PAD，MB?平面PAD，
∴MB∥平面PAD．
（2）建立空间坐标系如图：
则A（0，0，0），C（4，0，4），B（0，0，1），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AB}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$），
设平面ABM的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n•}\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{z=0}\\{\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，令y=1，则$\overrightarrow{n}$=（-7，1，0），
∵AP⊥平面ABC，
∴平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1×1}{1×\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{50}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴二面角C-AB-M的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．