Question

20．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，点E为CD中点，将三角形ABD沿BD翻折．
（Ⅰ） 证明：在翻折过程中，始终有AE⊥BD；
（Ⅱ） 当$AC=2\sqrt{3}$时，求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在梯形ABCD中，连接BE，推导出四边形ABDE为正方形，AE⊥BD，AF⊥BD，EF⊥BD，从而BD⊥面AEF，由此能证明BD⊥AE．
（Ⅱ）推导出BD⊥BC，EF⊥BD，AF⊥BD，从而∠AFE为二面角A-BD-C的平面角，由此能求出二面角A-BD-C的大小．

解答 证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，连接BE，
因为AB⊥AD，AB=AD=2，所以$BD=2\sqrt{2}$
又$DE=\frac{1}{2}DC=2，AB∥CD$，所以四边形ABDE为正方形，
在梯形ABCD中，连接AE交BD于F，则AE⊥BD…（2分）
翻折过程中，始终有AF⊥BD，EF⊥BD，
又AF∩EF=F，所以BD⊥面AEF，又AE?面AEF，所以BD⊥AE…（5分）
解：（Ⅱ）翻折前，四边形ABDE为正方形，即有BE=2，BE⊥CD，
所以$BC=\sqrt{B{E^2}+E{C^2}}=2\sqrt{2}$，
在△BCD中，$B{D^2}+B{C^2}={（{2\sqrt{2}}）^2}+{（{2\sqrt{2}}）^2}=16=C{D^2}$，
所以BD⊥BC…（6分）
因为EF∥BC，所以EF⊥BD，翻折之后，仍有EF⊥BD，
又AF⊥BD，所以∠AFE为二面角A-BD-C的平面角，…（8分）
因为$AD=2，DC=4，AC=2\sqrt{3}$，
所以AD²+AC²=DC²，即AD⊥AC，
因为E为DC的中点，所以$AE=\frac{1}{2}CD=2$．…（10分）
在△AFE中，$AF=\sqrt{A{B^2}-B{F^2}}=\sqrt{2}$，$EF=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$，AE=2
所以AE²=EF²+AF²，即有EF⊥AF…（11分）
所以二面角A-BD-C为90°．…（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．