Question

11．在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2$\sqrt{3}$，M为AB的中点．
（1）求证：AC⊥SB；
（2）求二面角S-CM-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点O，连结OS、OB，由已知推导出AC⊥OS，AC⊥OB，由此能证明AC⊥SB．
（2）平面SAC⊥平面ABC，SO⊥AC，从而SO⊥面ABC，过O作OD⊥CM于D，连结SD，则∠SDO是二面角N-CM-B的平面角，由此能求出二面角S-CM-A的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）取AC的中点O，连结OS、OB
∵SA=SC，∴AC⊥OS，
∵BA=BC，∴AC⊥OB，
又OS，OB?平面OSB，OS∩OB=O，
∴AC⊥平面OSB，
∴AC⊥SB．
解：（2）∵平面SAC⊥平面ABC，SO⊥AC，
∴由面面垂直性质定理，得SO⊥面ABC，
过O作OD⊥CM于D，连结SD，
由三垂线定理，得SD⊥CM，
∴∠SDO是二面角N-CM-B的平面角，
又SO=2$\sqrt{2}$，OD=1，∴SD=$\sqrt{8+1}$=3，
∴cos∠SDO=$\frac{OD}{SD}=\frac{1}{3}$，
∴二面角S-CM-A的平面角的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查异面直线的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．