Question

3．如图，在底面为梯形的四棱锥S-ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，∠BAD=135°，AD=DC=$\sqrt{2}$，SA=SC=SD=2，O为AC中点．
（Ⅰ）求证：SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-SB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出△ASC为正三角形，且AC=2，OS=$\sqrt{3}$，$∠ADC=\frac{π}{2}$，且OD=1，SO⊥OD，由此能证明SO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以O为原点，分别以OE，OC，OS所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角A-SB-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵在△ASC中，SA=SC，∠ASC=$\frac{π}{3}$，O为AC中点，
∴△ASC为正三角形，且AC=2，OS=$\sqrt{3}$，
∵在△ADC中，DA²+DC²=4=AC²，O为AC中点，
∴$∠ADC=\frac{π}{2}$，且OD=1，
∵在△SOD中，OS²+OD²=SD²，
∴△SOD为直角三角形，且$∠SOD=\frac{π}{2}$，
∴SO⊥OD，
又∵SO⊥AC，且AC∩OD=O，
∴SO⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）如图，设直线DO与BC交于点E，则OE、OC、OS两两垂直，
以O为原点，分别以OE，OC，OS所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
由（Ⅰ）知∠DAC=45°，且∠BAD=135°，
∴∠BAC=90°，∴AB∥x轴，
又∵在△ABC中，AB=2，
∴A（0，-1，0），B（2，-1，0），C（0，1，0），S（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AS}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{SB}$=（2，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{SC}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），
设平面ABS的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=2x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AS}=y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=-1，得$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），|$\overrightarrow{m}$|=2，
设平面SBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=2a-b-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}，1$），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3-1}{2×\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角A-SB-C的余弦值是$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．