Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：x²+y²=16和圆C₂：（x-7）²+（y-4）²=4，
（1）求过点（4，6）的圆C₁的切线方程；
（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长是直线l₂被圆C₂截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出k，即可求过点（4，6）的圆C₁的切线方程；
（2）设出过P点的直线l₁与l₂的点斜式方程，根据⊙C₁和⊙C₂的半径，及直线l₁被圆C₁截得的弦长是直线l₂被圆C₂截得的弦长的2，可得⊙C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离2倍，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．

解答 解：（1）若切线的斜率存在，可设切线的方程为y-6=k（x-4），
则圆心C₁到切线的距离$d=\frac{{|{4k-6}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=4$，解得$k=\frac{5}{12}$，
所以切线的方程为：5x-12y+52=0；
若切线的斜率不存在，则切线方程为x=4，符合题意．
综上所述，过P点的圆C₁的切线方程为5x-12y+52=0或x=4． …（4分）
（2）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l₁的方程为：y-b=k（x-a）（k≠0），
即kx-y+b-ak=0（k≠0），
则直线l₂的方程为：$y-b=-\frac{1}{k}（x-a）$，即x+ky-bk-a=0．
因为圆C₁的半径是圆C₂的半径的2倍，
及直线l₁被圆C₁截得的弦长是直线l₂被圆C₂截得的弦长的2倍，
所以圆C₁的圆心到直线l₁的距离是圆C₂的圆心到直线l₂的距离的2倍，
即$\frac{{|{b-ak}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2•\frac{{|{7+4k-bk-a}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$…（8分）
整理得|ak-b|=|2a-14+（2b-8）k|
从而ak-b=2a-14+（2b-8）k或b-ak=2a-14+（2b-8）k，
即（a-2b+8）k=2a+b-14或（a+2b-8）k=-2a+b+14，
因为k的取值有无穷多个，所以$\left\{\begin{array}{l}a-2b+8=0\\ 2a+b-14=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a+2b-8=0\\-2a+b+14=0\end{array}\right.$，…（11分）     
解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{36}{5}\\ b=\frac{2}{5}\end{array}\right.$，这样点P只可能是点P₁（4，6）或点${P_2}（\frac{36}{5}，\frac{2}{5}）$．
经检验点P₁和点P₂满足题目条件．…（13分）

点评 本题考查圆的切线方程，考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型，是中档题．