Question

19．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax+a-2，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=xf（x）+2，求证：当a＜ln$\frac{2}{e}$时，g（x）＞2a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，$\frac{2}{a}$），单调递减区间为（$\frac{2}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）求出g（x）的导函数g′（x）=-ax+lnx+a-1  （x＞0），当$a＜ln\frac{2}{e}$时，g′（x）在（0，+∞）上单调递增，故而g′（x）在（1，2）存在唯一的零点x₀，即g′（x₀）=0，则当0＜x＜x₀时，g（x）单调递减，当x＞x₀时，g（x）单调递增，从而可证得结论．

解答 （Ⅰ）解：由函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax+a-2，a∈R．
得$f′（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{2}=\frac{2-ax}{2x}$，（x＞0）．
若a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；   
 若a＞0，$0＜x＜\frac{2}{a}$时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
若$x＞\frac{2}{a}$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
综上，若a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
若a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{2}{a}$），单调递减区间为（$\frac{2}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）证明：g（x）=xf（x）+2=$xlnx-\frac{1}{2}a{x}^{2}+（a-2）x+2$，（x＞0）．
则g′（x）=-ax+lnx+a-1  （x＞0）．
当$a＜ln\frac{2}{e}$时，g′（x）=-ax+lnx+a-1在（0，+∞）上单调递增，
又g′（1）=-1＜0，$a＜ln\frac{2}{e}$，
∴g′（2）=-a+ln2-1＞0，
故而g′（x）在（1，2）存在唯一的零点x₀，即g′（x₀）=0．
则当0＜x＜x₀时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞x₀时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
故而$g（x）≥g（{x}_{0}）={x}_{0}ln{x}_{0}-\frac{1}{2}a{{x}_{0}}^{2}+$（a-2）x₀+2．
又g′（x₀）=-ax₀+lnx₀+a-1=0，1＜x₀＜2，
∴$g（x）≥g（{x}_{0}）=\frac{1}{2}a{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}+2＞2a$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．