Question

4．已知D为圆O：x²+y²=8上的动点，过点D向x轴作垂线DN，垂足为N，T在线段DN上且满足$|{TN}|：|{DN}|=1：\sqrt{2}$．
（1）求动点T的轨迹方程；
（2）若M是直线l：x=-4上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（3）若（2）中直线PQ与动点T的轨迹交于G，H两点，且$\overrightarrow{EG}=3\overrightarrow{HE}$，求此时弦PQ的长度．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，求动点T的轨迹方程；
（2）设M（-4，m），则圆K方程为x（x+4）+y（y-m）=0与圆O：x²+y²=8联立消去x²，y²得PQ的方程为4x-my+8=0，能够证明直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（3）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=8}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=8}\end{array}\right.$，①，知（x₁+2，y₁）=3（-2-x₂，-y₂），结合向量求出PQ的方程，由此入手能够求出弦PQ的长．

解答 解：（1）设T（x，y），则|DN|=$\sqrt{2}$|TN|，
∵D为圆O：x²+y²=8上的动点，
∴x²+（$\sqrt{2}$y）²=8，
∵|DN|≠0，∴y≠0，
∴动点T的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设M（-4，m），则圆K方程为x（x+4）+y（y-m）=0
与圆O：x²+y²=8联立消去x²，y²得PQ的方程为4x-my+8=0，
令y=0，可得x=-2，得直线PQ过定点E（-2，0）．
（3）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=8}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=8}\end{array}\right.$，①
∵$\overrightarrow{EG}=3\overrightarrow{HE}$，∴（x₁+2，y₁）=3（-2-x₂，-y₂），即：x₁=-8-3x₂，y₁=-3y₂，
代入①解得：x₂=-$\frac{8}{3}$，y₂=±$\frac{2}{3}$（舍去正值），∴k_PQ=1，所以PQ：x-y+2=0，
从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离d=$\sqrt{2}$，
∴PQ=2$\sqrt{8-2}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．