Question

2．在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$\sqrt{3}$sinA+cosA=2，a=3，C=$\frac{5π}{12}$，则b=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 $\sqrt{3}$sinA+cosA=2，化为2sin（A+$\frac{π}{6}$）=2，解得A，再利用正弦定理即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{3}$sinA+cosA=2，
∴2sin（A+$\frac{π}{6}$）=2，即sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，∵A∈$（0，\frac{7π}{12}）$，∴（A+$\frac{π}{6}$）∈$（\frac{π}{6}，\frac{3π}{4}）$，∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得A=$\frac{π}{3}$．
∴B=$π-\frac{π}{3}$-$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{4}$，
在△ABC中，则b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{3×sin\frac{π}{4}}{sin\frac{π}{3}}$=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了和差化积、正弦定理、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．