Question

5．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为蓌形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点，F是PC上的一点．
（1）若PB∥平面AEF，试确定F点位置；
（2）在（1）的条件下，若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AF，EF，推导出PB∥EF，由E是BC的中点，能证明F为PC的中点．
（2）推导△ABC为正三角形，AE⊥BC，AE⊥AD，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解答 解：（1）连结AF，EF，
∵PB∥平面AEF，PB?平面PBC，平面PBC∩平面AEF=EF，
∴PB∥EF．
又在△PBC中，E是BC的中点，
∴F为PC的中点．…（4分）
（2）∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为正三角形．∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．
又BC∥AD，∴AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE．所以AE，AD，AP两两垂直．（6分）
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设AB=2，AP=a，则A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，a），E（$\sqrt{3}$，0，0），F（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{a}{2}$），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}$，-1，-a），且$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，0）为平面PAD的法向量，
设直线PB与平面PAD所成的角为θ，
由sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{AE}$＞|=$\frac{{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AE}|}}{{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{AE}|}}$=$\frac{3}{{\sqrt{4+{a^2}}\sqrt{3}}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$（8分）
解得a=2 所以?$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，0），?$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1）
设平面AEF的一法向量为$\overrightarrow m$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AE}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$，因此$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}{x_1}=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}+\frac{1}{2}{y_1}+{z_1}=0\end{array}\right.$，
取z₁=-1，则$\overrightarrow m$=（0，2，-1），（10分）
∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面AFC，∴$\overrightarrow{BD}$为平面AFC的一法向量．
又$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，3，0），
∴cos＜$\overrightarrow m$，$\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{{\overrightarrow m•\overrightarrow{BD}}}{{|\overrightarrow m|•\overrightarrow{BD}}}=\frac{2×3}{{\sqrt{5}×\sqrt{12}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
∵二面角E-AF-C为锐角，∴所求二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．（12分）

点评 本题考查满足条件的点的位置的确定，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．